کشفی انقلابی در اعداد اول که رمزنگاری دیجیتال را متحول می‌کند

1

اعداد به ندرت در صدر اخبار قرار می‌گیرند، اما ادعای تازه‌ای درباره اعداد اول هیجانی فراتر از محافل ریاضی برانگیخته است. اعداد اول، همان اعدادی هستند که تنها بر خودشان و عدد یک بخش‌پذیرند.

هزاران سال است که مکان‌یابی این اعداد به اندازه بارش شهاب‌سنگ‌ها غیرقابل پیش‌بینی به نظر می‌رسد.

اکنون ادعایی جسورانه مطرح شده است: اعداد اول به آن اندازه که فکر می‌کردیم تصادفی نیستند. اگر این ادعا صحت داشته باشد، داستانی که ریاضی‌دانان از زمان یونان باستان روایت کرده‌اند بازنویسی خواهد شد. همچنین، این موضوع سامانه‌های امنیتی را که از معاملات بانکی و پیام‌های خصوصی ما محافظت می‌کنند به چالش می‌کشد.

آشنایی با اعداد اول

هر عدد صحیحی که روی ماشین‌حساب خود وارد می‌کنید، می‌تواند از حاصل‌ضرب اعداد اول ساخته شود.
عدد ۱۵ می‌خواهید؟ کافیست ۳ را در ۵ ضرب کنید.
عدد ۳۲۳ نیاز دارید؟ آن را به ۱۷ × ۱۹ تجزیه کنید.
با این وجود، هیچ‌کس تاکنون راه میان‌بری ساده پیدا نکرده که بتواند بدون جا انداختن یا اضافه کردن اعداد غیرواقعی، تمام اعداد اول را پشت سر هم فهرست کند.

این جستجو برای یافتن راه میان‌بر، منجر به پیدایش معماهای مشهوری همچون فرضیه ریمان و شکار اعداد اول بسیار بزرگ شده است، اما هنوز نقشه‌ی نهایی به دست نیامده است.

این آشفتگی ظاهری به قدری قابل اعتماد است که رمزگذاری مدرن بر پایه آن بنا شده است.
اگر هکرها نتوانند عدد اول بعدی را پیش‌بینی کنند، اطلاعات کارت اعتباری شما ایمن باقی می‌ماند.

با این حال، اعداد اول همیشه ما را غافلگیر می‌کنند. این اعداد در الگوهای مقیاس‌های موسیقی ظاهر می‌شوند، به توضیح فاصله دانه‌های گل آفتابگردان کمک می‌کنند و حتی فیزیکدانان را در مدل‌سازی هسته‌های اتمی یاری می‌کنند.
هر ظهور آن‌ها زمزمه‌ای از وجود نظمی عمیق‌تر را به گوش می‌رساند.

رمزگشایی از کد اعداد اول

این زمزمه زمانی بلندتر شد که تیمی بین هنگ‌کنگ و کارولینای شمالی پیش‌نمایشی از یافته‌های خود را به اشتراک گذاشت.

دکتر وی کو، همکار ارشد در مؤسسه مطالعات پیشرفته هنگ‌کنگ (CityU)، که روی این پروژه همراه با پژوهشگرانی از ایالات متحده کار می‌کند، اظهار داشت:

«این یک پیشرفت واقعاً انقلابی در نظریه اعداد اول است.»

تیم پیشگام این کشف

هان-لین لی، محقق اصلی گروه، در رشته علوم کامپیوتر تخصص دارد؛
شو-چنگ فنگ، نویسنده همکار، از صاحب‌نظران مهندسی صنایع و سامانه‌ها است.
این تیم در نقطه‌ی تلاقی ریاضیات و پیچیدگی‌های دنیای واقعی فعالیت می‌کند.

ادعای آن‌ها صریح است:

«تیم ما راهی دقیق و سریع برای پیش‌بینی محل ظهور اعداد اول ابداع کرده است.» (به گفته کو)

این ادعا که در یک مقاله کاری در مجله الکترونیکی SSRN منتشر شده است، بلافاصله توجه نظریه‌پردازان اعداد و شکاکان را به خود جلب کرد.

جدول تناوبی اعداد اول

معرفی PTP (Periodic Table of Primes)

در قلب این مقاله، نموداری با عنوان جدول تناوبی اعداد اول (PTP) قرار دارد.
مشابه جدول تناوبی شیمی، PTP هر عدد اول را در بلوک‌هایی تکرارشونده ترسیم می‌کند.

در این جدول اگر در یک بلوک حرکت کنید، به عدد اول بعدی می‌رسید؛
اگر در یک ستون پایین بروید، جفت‌های عدد اول را پیدا می‌کنید که تنها دو واحد اختلاف دارند (مانند ۱۱ و ۱۳).

پیش‌بینی شکاف‌های اعداد اول

نویسندگان مدعی‌اند که این شبکه نه تنها محل عدد اول بعدی را مشخص می‌کند، بلکه بزرگ‌ترین فاصله بین اعداد اول در هر بازه‌ای از اعداد را نیز تخمین می‌زند.

در صورت تأیید این ادعا، بسیاری از سؤالات باز در این حوزه به محاسباتی روتین تبدیل خواهند شد.
مثلاً شمارش تعداد اعداد اول زیر عددی چون یک کوینتیلیون می‌تواند به جای ماه‌ها کار با ابررایانه، تنها چند دقیقه با یک رایانه معمولی زمان ببرد.

علاوه بر این، تجزیه اعداد صحیح بزرگ – که برای امضای دیجیتال حیاتی است – نیز می‌تواند با همین سرعت افزایش یابد.

چرا این موضوع اهمیت دارد؟

رمزنگاری به سختی تجزیه حاصل‌ضرب دو عدد اول بزرگ متکی است.
الگوریتم RSA، که امنیت بسیاری از وب‌سایت‌ها را تأمین می‌کند، دقیقاً بر همین دشواری بنا شده است.

اگر PTP بتواند کاربران را مستقیماً به سوی اعداد اول هدایت کند، قفل‌های دیجیتال امروزی فردا ممکن است بسیار شکننده به نظر برسند.

آینده رمزنگاری چگونه خواهد بود؟

متخصصان امنیت سایبری در حال طراحی پروتکل‌های جدیدی هستند که بتوانند یک گام جلوتر بمانند؛
یا با استفاده از طرح‌های مقاوم در برابر محاسبات کوانتومی،
یا با انتخاب کلیدهایی که از ساختارهای ریاضی غیر از اعداد اول بهره می‌برند.

البته تمام پیامدهای این کشف تهدیدآمیز نیست.
پیش‌بینی بهتر اعداد اول می‌تواند امنیت را نیز تقویت کند.
طراحان می‌توانند کلیدهایی را انتخاب کنند که آزمون‌های صحت داخلی داشته باشند؛ اگر کلید آزمون را رد کند، مشخص می‌شود که جعلی است.

همچنین تولید سریع‌تر اعداد اول می‌تواند به بهبود کارایی پلتفرم‌های بلاکچین کمک کند و هزینه‌های انرژی آن‌ها را که با نیروگاه‌های کوچک رقابت می‌کند کاهش دهد.

اعداد اول و کیهان

جالب اینجاست که این پیشرفت در یک بخش ریاضیات محض اتفاق نیفتاد.
تیم تحقیقاتی در حال اصلاح یک روش کدگذاری رنگ برای فشرده‌سازی تصاویر بود، جایی که اعداد جایگزین سایه‌های قرمز، سبز و آبی می‌شوند.

چطور PTP کشف شد؟

عوامل اول به فشرده‌سازی این سایه‌ها در فایل‌های کوچکتر بدون از دست دادن کیفیت بصری کمک می‌کنند.
هنگام ترسیم الگوهای عوامل، لی و همکارانش دنباله‌هایی را مشاهده کردند که با محل ظهور اعداد اول مطابقت داشتند.
با دنبال کردن این سرنخ‌ها، PTP پدیدار شد.

پیامدهای گسترده این کشف

اگر این جدول از بررسی‌های تخصصی جان سالم به در ببرد، تاثیر آن می‌تواند به اخترفیزیک و محاسبات کوانتومی نیز گسترش یابد.

اعداد اول راهنمای کدهای تصحیح خطایی هستند که به ناسا اجازه می‌دهد تصاویر واضحی را از میلیاردها مایل دورتر مخابره کند.

بیت‌های کوانتومی یا «کیوبیت‌ها» نیز به کدهای مقاومی نیاز دارند تا پایدار بمانند.
نقشه‌ای واضح‌تر از اعداد اول می‌تواند این دو مأموریت را بهبود بخشد – عکس‌های شفاف‌تری از کهکشان‌های دور تهیه شود و کیوبیت‌ها مدت طولانی‌تری برای شبیه‌سازی‌های شیمیایی دقیق پابرجا بمانند.

آینده چه خواهد شد؟

ریاضی‌دانان اکنون همه گوشه‌های PTP را بررسی خواهند کرد تا عیوب پنهان را بیابند.
اگر نقصی یافت نشود، یکی از قدیمی‌ترین معماهای حساب، هاله‌ی تصادفی بودن خود را از دست خواهد داد.

در هر صورت، این شکار نشان می‌دهد که اعداد اول در طول هزاران سال چه چیزی به ما آموخته‌اند:
یک سوال ساده – چه چیزی به چه چیزی بخش‌پذیر است – می‌تواند نحوه رمزگذاری اسرار، فشرده‌سازی تصاویر سلفی و کاوش در فضا را تغییر دهد.

اعضای تیم این کشف انقلابی

تیم درخشان پشت این کشف شامل:

• هان-لین لی، استاد مدعو در بخش علوم کامپیوتر دانشگاه شهر هنگ‌کنگ (CityUHK)
• شو-چنگ فنگ، استاد کرسی Walter Clark در مهندسی صنایع و سامانه‌ها در دانشگاه ایالتی کارولینای شمالی
• وی کو، همکار ارشد در مؤسسه مطالعات پیشرفته هنگ‌کنگ (CityU)

مطالعه کامل در مجله الکترونیکی SSRN منتشر شده است.